Một bài tập nữa của một bạn gửi cho các bạn ôn thi HKII năm nay của lớp 9. Đề bài này được cải biên từ đề của quận TÂN BÌNH. Không biết ngày mai quận nhà có ra bài này không!!!!!!!!!!!!!

Từ điểm A nằm ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC và cát tuyến ADE. K là trung điểm ED.  BC cắt OA tại H

a/ chứng minh K,B,A,C,O cùng thuộc 1 đường tròn

b/ chứng minh EOHD nội tiếp

c/ Từ E vẽ dây EF vuông góc với tia AO. Chứng minh F, H , D thẳng hàng

d/ vẽ đường kính BI. EI và ID cắt tia OA lần lượt tại N, M. Chứng minh : ON = OM

                              Bài giải

a/ góc ABO = Góc ACO = 90^o (gt)

    K: tđ của ED => OK ⟘ ED => góc OKA = 90^o

    Nên B; C; K; O; A cùng thuộc đường tròn ĐK OA

b/ CM :    AC ² = AH .AO (HTL)

    CM được  ∆ACD đồng dạng  ∆AEC (g-g)=> AC² = AD. AE

    Nên AH. AO = AD. AE => … ∆AHD đồng dạng  ∆AEO ?(cgc)=> <AHD  =  <AEO   

    => Tg       EOHD nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

c/ OB = OC = R;AB = AC (T/C 2 tt cắt nhau) => OA là trung trực của BC

     BC // EF (gt) nên OA ⟘ EF tại L  => L là trung điểm FE (lien hệ giữa ĐK và dây cung)

     ∆HEF có HL vừa là đường cao(OA ⟘ EF tại L  )vừa là trung tuyến(L là trung điểm FE)

    Nên ∆HEF cân tại H Suy ra < FHL = < EHL; <EHL = < ODE (Tg EOHD nt, cùng chắn cung OE)

    Mà < ODE = < OED ( OE = OD = R => ∆OED cân tại O)

    Đồng thời < OED = < AHD. Suy ra: < FHL = < AHD ; < AHD + < OHD = 180^o

   Suy ra:   < FHL  + < OHD = 180^o => F; H; D thẳng hang.

d/ CM: OM = ON.

    Kẻ từ E đường thẳng song song với AO cắt OI tại P và cắt ID tại Q => <OAK = < KEP (so le  trong)

    Vì  A, B, O, K, C cùng thuộc 1 đường tròn => <PBK = < OAK (cùng chắn cung OK). 

    Nên <PBK =  < KEP

ð             Tg BKPE nội tiếp  => <PBE = < EKP (cùng chắn cung EP) Mà <PBE = <EDQ(cùng chắn cung EI)

ð           < EKP = <EDQ + Đồng vị => PK // QD , Do K là trung điểm ED ?(cmt) nên P cũng là trung điểm EQ (T/C đường trung bình của tam giác)

   EP // ON => (EP/ ON) = (IP/IO)

   PQ // OM => (PQ/OM) = (IP/IO)

   Suy ra : (EP/ ON) = (PQ/OM) mà PQ = EP (cmt) Vậy OM = ON.